Numerik – Praktikum

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Numerik/Praktikum – D. Straub

Termin 5: Differentialgleichungen

Thema: Numerische Lösung von DGLn mit ode45

Lernziele:

  • Ein physikalisches System als DGL in Standardform aufstellen
  • ode45 in MATLAB aufrufen und Ergebnisse interpretieren
  • Verschiedene Szenarien durch Änderung der rechten Seite f(t,z)f(t, \boldsymbol{z}) untersuchen
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Aufgabe: Bremsanlage eines Mountainbikes

Numerik/Praktikum – D. Straub

Szenario

Ein Mountainbiker fährt eine lange Abfahrt hinunter.

  • Konstante Hangneigung: α=10°\alpha = 10°
  • Er bremst mit der Scheibenbremse, um die Geschwindigkeit zu kontrollieren
  • Die Bremsscheibe erwärmt sich durch Reibung
  • Kühlung durch den Fahrtwind – je schneller, desto besser

Frage: Wann überhitzt die Bremse – bei konstantem Bremsen oder bei intervallartiger Bremsung?

Numerik/Praktikum – D. Straub

Physikalisches Modell: Bewegungsgleichung

Newton entlang der Hangrichtung (xx = zurückgelegte Strecke):

m x¨=mgsin⁡α−FBrems−cw x˙2m\,\ddot{x} = mg\sin\alpha - F_\text{Brems} - c_w\,\dot{x}^2

Größe Bedeutung Wert
mm Masse Fahrer + Rad 90 kg90\,\text{kg}
α\alpha Hangneigung 10°10°
cwc_w Luftwiderstandskoeffizient 0,5 kg/m0{,}5\,\text{kg/m}
FBremsF_\text{Brems} Bremskraft variabel
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Physikalisches Modell: Wärmebilanz

Wärme in der Bremsscheibe (TT = Scheibentemperatur):

Cth T˙=FBrems⋅x˙⏟Reibungsleistung−(λ0+λ1 x˙) (T−T∞)⏟Ku¨hlung durch FahrtwindC_\text{th}\,\dot{T} = \underbrace{F_\text{Brems} \cdot \dot{x}}_{\text{Reibungsleistung}} - \underbrace{(\lambda_0 + \lambda_1\,\dot{x})\,(T - T_\infty)}_{\text{Kühlung durch Fahrtwind}}

Größe Bedeutung Wert
CthC_\text{th} Wärmekapazität Bremsscheibe 150 J/K150\,\text{J/K}
λ0\lambda_0 Grundkühlung (Stillstand) 2 W/K2\,\text{W/K}
λ1\lambda_1 Fahrtwindkühlung 0,5 W s/(K m)0{,}5\,\text{W\,s/(K\,m)}
T∞T_\infty Umgebungstemperatur 20 °C20\,°\text{C}
TmaxT_\text{max} Grenztemperatur Bremsscheibe 300 °C300\,°\text{C}
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Aufgabe 1 – Standardform

Schreiben Sie das Gleichungssystem in die Standardform

z˙=f(t, z),z(t0)=z0\dot{\boldsymbol{z}} = f(t,\, \boldsymbol{z}), \qquad \boldsymbol{z}(t_0) = \boldsymbol{z}_0

a) Welche Größen enthält der Zustandsvektor z\boldsymbol{z}? Wie viele Komponenten hat er?
Hinweis: Die Bewegungsgleichung ist 2. Ordnung.

b) Geben Sie f(t,z)f(t, \boldsymbol{z}) explizit an. Drücken Sie alles durch die Komponenten von z\boldsymbol{z} aus.

c) Geben Sie den Anfangszustandsvektor z0\boldsymbol{z}_0 an. Der Fahrer startet aus dem Stillstand bei Umgebungstemperatur.

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Aufgabe 2 – Konstantes Bremsen

Bremskraft: FBrems=150 NF_\text{Brems} = 150\,\text{N} (konstant)

a) Lösen Sie das System mit ode45 für t∈[0, 120 s]t \in [0,\, 120\,\text{s}].

b) Plotten Sie x˙(t)\dot{x}(t) und T(t)T(t) in zwei Subplots. Zeichnen Sie TmaxT_\text{max} als horizontale Linie ein.

c) Welche Gleichgewichtsgeschwindigkeit stellt sich ein?
Überprüfen Sie das Ergebnis rechnerisch: Was gilt im eingeschwungenen Zustand für x¨\ddot{x}?

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Aufgabe 3 – Intervallartiges Bremsen

Nun bremst der Fahrer abwechselnd: 10 Sekunden bremsen, 10 Sekunden frei.
Die mittlere Bremskraft soll dieselbe sein wie in Aufgabe 2.

a) Wie groß muss FBremsF_\text{Brems} während der Bremsintervalle sein?

b) Passen Sie f(t,z)f(t, \boldsymbol{z}) an – FBremsF_\text{Brems} wird jetzt zeitabhängig.

c) Lösen Sie erneut mit ode45 und stellen Sie beide T(t)T(t)-Kurven in einem gemeinsamen Plot dar.

d) Wann überhitzt die Bremse schneller – und warum?

Numerik/Praktikum – D. Straub