Numerik – Praktikum

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Termin 5: Differentialgleichungen

Thema: Numerische Lösung von DGLn mit ode45

Lernziele:

• Ein physikalisches System als DGL in Standardform aufstellen
• ode45 in MATLAB aufrufen und Ergebnisse interpretieren
• Verschiedene Szenarien durch Änderung der rechten Seite $f(t, \boldsymbol{z})$ untersuchen

Aufgabe: Bremsanlage eines Mountainbikes

Szenario

Ein Mountainbiker fährt eine lange Abfahrt hinunter.

• Konstante Hangneigung: $\alpha = 10°$
• Er bremst mit der Scheibenbremse, um die Geschwindigkeit zu kontrollieren
• Die Bremsscheibe erwärmt sich durch Reibung
• Kühlung durch den Fahrtwind – je schneller, desto besser

Frage: Wie beeinflusst die Bremsstrategie die Temperaturentwicklung – bei gleicher mittlerer Bremskraft?

Physikalisches Modell: Bewegungsgleichung

Newton entlang der Hangrichtung ($x$ = zurückgelegte Strecke):

$$m\,\ddot{x} = mg\sin\alpha - F_\text{Brems} - c_w\,\dot{x}^2$$

Physikalisches Modell: Wärmebilanz

Wärme in der Bremsscheibe ($T$ = Scheibentemperatur):

$$C_\text{th}\,\dot{T} = \underbrace{F_\text{Brems} \cdot \dot{x}}_{\text{Reibungsleistung}} - \underbrace{(\lambda_0 + \lambda_1\,\dot{x})\,(T - T_\infty)}_{\text{Kühlung durch Fahrtwind}}$$

Aufgabe 1 – Standardform

Schreiben Sie das Gleichungssystem in die Standardform

$$\dot{\boldsymbol{y}} = f(t,\, \boldsymbol{y}), \qquad \boldsymbol{y}(t_0) = \boldsymbol{y}_0$$

a) Welche Größen enthält der Zustandsvektor $\boldsymbol{y}$? Wie viele Komponenten hat er?
Hinweis: Die Bewegungsgleichung ist 2. Ordnung.

b) Geben Sie $f(t, \boldsymbol{y})$ explizit an. Drücken Sie alles durch die Komponenten von $\boldsymbol{y}$ aus.

c) Geben Sie den Anfangszustandsvektor $\boldsymbol{y}_0$ an. Der Fahrer fährt zu Beginn mit $\dot{x}_0 = 10\,\text{m/s}$ bergab; die Bremsscheibe ist auf Umgebungstemperatur.
Hinweis: Das Modell setzt $\dot{x} > 0$ voraus. Warum?

Aufgabe 2 – Konstantes Bremsen

Bremskraft: $F_\text{Brems} = 70\,\text{N}$ (konstant)

a) Lösen Sie das System mit ode45 für $t \in [0,\, 120\,\text{s}]$.

b) Plotten Sie $\dot{x}(t)$ und $T(t)$ in zwei Subplots. Zeichnen Sie $T_\text{max}$ als horizontale Linie ein.

c) Welche Gleichgewichtsgeschwindigkeit stellt sich ein?
Überprüfen Sie das Ergebnis rechnerisch: Was gilt im eingeschwungenen Zustand für $\ddot{x}$?

Aufgabe 3 – Intervallartiges Bremsen

Nun bremst der Fahrer abwechselnd: 10 Sekunden bremsen, 10 Sekunden frei rollen.
Die mittlere Bremskraft soll dieselbe sein wie in Aufgabe 2.

a) Wie groß muss $F_\text{Brems}$ während der Bremsintervalle sein? Überprüfen Sie, dass dabei stets $\dot{x} > 0$ bleibt.

b) Passen Sie $f(t, \boldsymbol{y})$ an – $F_\text{Brems}$ wird jetzt zeitabhängig.

c) Lösen Sie erneut mit ode45 und stellen Sie beide $T(t)$-Kurven in einem gemeinsamen Plot dar.

d) Bei welcher Bremsstrategie wird die Bremsscheibe heißer – und warum?

Hinweis: für die Bremskraft können Sie folgende Funktion verwenden, die ein Rechtecksignal mit Amplitude $A$ und Periode $P$ erzeugt. Überlegen Sie sich, wie das funktioniert.

rechteck = @(t, A, P) A * (mod(t, P) < P/2);